— Mapa de temas para estudiar la parte matemática de la materia

Introducción

La matemática en IRP funciona como base de la materia sirve para leer fórmulas, interpretar gráficos, resolver ecuaciones, trabajar con proporciones, entender funciones y después aplicar todo eso en física o programación.

En criollo: si no manejás esta base, después cualquier ejercicio parece más difícil de lo que realmente es.

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Desarrollo

1. Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos sirven para clasificar números. Este tema aparece al inicio porque después todo lo demás usa números reales, fracciones, raíces, decimales y signos.

Conjunto	Qué significa	Ejemplos
Naturales	Números para contar	1, 2, 3, 4
Enteros	Naturales, negativos y cero	-3, -2, -1, 0, 1
Racionales	Se pueden escribir como fracción	1/2, -5, 3,14
Irracionales	No se pueden escribir como fracción exacta	√2, π
Reales	Incluyen racionales e irracionales	-4, 0, 3/5, √2
Complejos	Incluyen reales y números con raíz de -1	√-1, 2 + i

Ideas clave:

• Todo natural es entero.
• Todo entero es racional.
• Todo racional es real.
• Los irracionales también son reales.
• Un decimal finito es racional.
• Una raíz no siempre es irracional: √4 = 2.

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2. Símbolos matemáticos básicos

Estos símbolos aparecen todo el tiempo en ejercicios, funciones, intervalos y condiciones.

Símbolo	Significado	Uso
>	Mayor que	x > 5
<	Menor que	x < 3
>= / ≥	Mayor o igual	x ≥ 4
<= / ≤	Menor o igual	x ≤ 10
<> / ≠	Distinto	x ≠ 3
Ø	Conjunto vacío	No hay soluciones
≈	Aproximadamente	√2 ≈ 1,41
∈	Pertenece	x ∈ R
∪	Unión	A ∪ B
∩	Intersección	A ∩ B

Ejemplo rápido:

x > 7

Significa que x puede ser cualquier número mayor que 7, pero no 7 exacto.

x ≥ 7

Significa que x puede ser 7 o cualquier número mayor.

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3. Intervalos

Los intervalos sirven para expresar conjuntos de valores, sobre todo en funciones.

Notación	Nombre	Qué significa
(a, b)	Intervalo abierto	No incluye extremos
[a, b]	Intervalo cerrado	Incluye extremos
[a, b)	Semiabierto	Incluye a, no incluye b
(a, b]	Semiabierto	No incluye a, incluye b
{a, b, c}	Conjunto de valores	Solo esos valores

Ejemplos:

(2, 5)

Incluye los números entre 2 y 5, pero no incluye ni 2 ni 5.

[2, 5]

Incluye 2, 5 y todos los números entre ellos.

R - {0}

Todos los reales excepto el 0.

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4. Operaciones combinadas

Las operaciones combinadas aparecen en casi todos los ejercicios de matemática, física y programación.

Orden correcto:

1. Paréntesis.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones.
4. Sumas y restas.

Ejemplo:

6 · (5 - 2 : 2) + 1

Resolución:

2 : 2 = 1
6 · (5 - 1) + 1
6 · 4 + 1
24 + 1
25

Error típico:

(-2)^2 = 4
-2^2 = -4

El paréntesis cambia el resultado.

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5. Potencias y raíces

Temas que hay que manejar:

• Cuadrados.
• Cubos.
• Raíces cuadradas.
• Raíces exactas.
• Raíces no exactas.
• Exponentes negativos.
• Signos con potencias.

Ejemplos:

2^3 = 8
√25 = 5
√2 ≈ 1,41

Idea clave:

√4 = 2

Por eso no toda raíz es irracional.

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6. Notación científica

La notación científica sirve para escribir números muy grandes o muy pequeños.

Forma:

a · 10^n

Condición:

1 ≤ a < 10 (que a este entre el 1 y el 10 inlcuidos estos ultimos)
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Ejemplos:

3627600 = 3,6276 · 10^6
0,0022 = 2,2 · 10^-3
384400000 = 3,844 · 10^8

También puede aparecer con E:

4,094E26 = 4,094 · 10^26

Regla rápida:

• Exponente positivo: número grande.
• Exponente negativo: número chico.
• Primero convertí unidades, después escribí en notación científica.

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7. Proporciones, regla de tres y porcentajes

La proporción es una relación entre cantidades. Aparece en escalas, unidades, porcentajes, presupuestos y problemas de física.

Ejemplo de unidad:

1 kg = 1000 g

Entonces:

g = kg · 1000

Ejemplo de porcentaje:

15% = 15/100 = 0,15

Si el 15% de una población es menor de 20 años:

menores = 0,15 · población total

Ejemplo de escala:

3 cm en el mapa = 200 m reales

Si en el mapa hay 13 cm:

3 cm  -> 200 m
13 cm -> x
x = (13 · 200) / 3
x = 866,66 m

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8. Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad con una incógnita. Resolverla significa encontrar el valor que hace verdadera la igualdad.

Ejemplo:

4x - 5 = 7 + 2x

Resolución:

4x - 2x = 7 + 5
2x = 12
x = 6

Tipos de ecuaciones:

Tipo	Qué pasa
Una solución	Hay un único valor correcto
Identidad	Sirven todos los reales
Sin solución	No sirve ningún valor

Ejemplos:

x = 6

Tiene una solución.

2x = 2x

Sirven todos los valores.

x + 1 = x + 3

No tiene solución.

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9. Ecuaciones con productos

Regla clave:

Si A · B = 0, entonces A = 0 o B = 0.

Ejemplo:

(x + 1)(x - 4) = 0

Entonces:

x + 1 = 0  ->  x = -1
x - 4 = 0  ->  x = 4

Soluciones:

x = -1
x = 4

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10. Planteo de problemas

Este tema consiste en traducir un enunciado a ecuación.

Pasos:

1. Leer el problema.
2. Marcar datos.
3. Definir la incógnita.
4. Armar la ecuación.
5. Resolver.
6. Revisar si el resultado tiene sentido.

Ejemplo:

“El perímetro de un rectángulo es 72 cm. La base es el triple de la altura.”

Definimos:

h = altura
b = 3h

Perímetro:

P = 2b + 2h

Reemplazo:

72 = 2(3h) + 2h
72 = 6h + 2h
72 = 8h
h = 9

Base:

b = 3 · 9 = 27

Área:

A = b · h
A = 27 · 9
A = 243 cm²

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11. Funciones

Una función relaciona valores de entrada con valores de salida. Normalmente se trabaja con x como entrada y f(x) o y como salida.

Conceptos importantes:

Concepto	Explicación
Dominio	Valores posibles de x
Imagen	Valores posibles de y
Codominio	Conjunto general de salida
Raíces o ceros	Donde la función toca el eje X
Corte con eje X	Punto con forma (x, 0)
Corte con eje Y	Punto con forma (0, y)
Positividad	Donde la función está arriba del eje X
Negatividad	Donde la función está abajo del eje X
Crecimiento	Donde la función sube
Decrecimiento	Donde la función baja

Ejemplo:

f(x) = x + 1

Corte con eje Y:

f(0) = 0 + 1 = 1

Entonces:

(0, 1)

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12. Función lineal

Forma general:

f(x) = ax + b

Donde:

• a es la pendiente.
• b es la ordenada al origen.
• Gráficamente es una recta.

Tabla rápida:

Parte	Significado
a	Inclinación de la recta
b	Corte con eje Y
x	Variable independiente
f(x)	Resultado o valor de y

Ejemplo:

f(x) = 2x + 5

Pendiente:

2

Ordenada al origen:

5

Corte con Y:

(0, 5)

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13. Pendiente

La pendiente indica cuánto se inclina una recta.

Con dos puntos:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Ejemplo con puntos:

(1, 1) y (4, -8)

m = (-8 - 1) / (4 - 1)
m = -9 / 3
m = -3

Pendiente:

-3

Si la pendiente es positiva, la recta sube. Si la pendiente es negativa, la recta baja.

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14. Función cuadrática

Forma general:

f(x) = ax^2 + bx + c

Gráficamente tiene forma de parábola.

Elementos importantes:

Elemento	Qué es
a	Define apertura y orientación
b	Coeficiente lineal
c	Término independiente
Vértice	Punto máximo o mínimo
Raíces	Cortes con el eje X
Eje de simetría	Línea que divide la parábola

Vértice:

xv = -b / 2a

Luego se reemplaza xv en la función para obtener yv.

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15. Fórmula de Bhaskara

Se usa para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma:

ax^2 + bx + c = 0

Fórmula:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Partes importantes:

Parte	Nombre	Para qué sirve
a	Coeficiente cuadrático	Acompaña a x²
b	Coeficiente lineal	Acompaña a x
c	Término independiente	No tiene x
b² - 4ac	Discriminante	Indica cuántas soluciones hay

Interpretación del discriminante:

Discriminante	Resultado
Mayor que 0	Dos soluciones reales
Igual a 0	Una solución real doble
Menor que 0	No hay soluciones reales

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16. Teorema de Pitágoras

Se usa en triángulos rectángulos.

Fórmula:

cateto^2 + cateto^2 = hipotenusa^2

También:

a^2 + b^2 = c^2

Uso típico:

• Calcular lados faltantes.
• Calcular distancias.
• Calcular módulos de vectores.
• Resolver problemas de física.

Ejemplo:

3^2 + 4^2 = c^2
9 + 16 = c^2
25 = c^2
c = 5

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17. Trigonometría básica

La trigonometría sirve para trabajar con triángulos rectángulos, ángulos, fuerzas, velocidades y componentes.

Relaciones principales:

Relación	Fórmula
Seno	sen(α) = cateto opuesto / hipotenusa
Coseno	cos(α) = cateto adyacente / hipotenusa
Tangente	tan(α) = cateto opuesto / cateto adyacente

Regla memoria:

SOH CAH TOA

Significa:

Seno = Opuesto / Hipotenusa
Coseno = Adyacente / Hipotenusa
Tangente = Opuesto / Adyacente

Usos en IRP:

• Descomponer vectores.
• Calcular alturas.
• Trabajar con planos inclinados.
• Resolver tiro oblicuo.
• Entender componentes X e Y.

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18. Puntos, coordenadas y cuadrantes

Un punto se escribe así:

(x, y)

El primer valor pertenece al eje X. El segundo valor pertenece al eje Y.

Ejemplo:

(4, 5)

Significa:

x = 4
y = 5

Cuadrantes:

Cuadrante	Ubicación	Signos
I	Arriba derecha	x positivo, y positivo
II	Arriba izquierda	x negativo, y positivo
III	Abajo izquierda	x negativo, y negativo
IV	Abajo derecha	x positivo, y negativo

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19. Vectores

Un vector tiene dirección, sentido y módulo. En IRP se usa mucho para física, pero la base matemática es entender sus componentes.

Forma:

[x]
[y]

También se puede pensar como:

componente X
componente Y

El módulo de un vector se puede calcular con Pitágoras:

|v| = √(x^2 + y^2)

Ejemplo:

x = 3
y = 4

|v| = √(3^2 + 4^2)
|v| = √25
|v| = 5

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20. Módulo de un número

El módulo o valor absoluto transforma un número en positivo.

Ejemplos:

|-5| = 5
|7| = 7
|0| = 0

Uso típico:

• Distancias.
• Diferencias.
• Valor absoluto en programación.
• Magnitudes físicas.

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21. Lectura de gráficos

En IRP se necesita leer gráficos, sobre todo en funciones y física.

Hay que poder identificar:

• Eje X.
• Eje Y.
• Cortes con los ejes.
• Pendiente.
• Crecimiento.
• Decrecimiento.
• Máximos.
• Mínimos.
• Intervalos.
• Valores aproximados.
• Relación entre gráfico y fórmula.

Ejemplo de lectura:

Si la función toca el eje X en x = 2, entonces hay un corte con X en (2, 0).

Si la función corta el eje Y en y = 5, entonces hay un corte con Y en (0, 5).

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22. Funciones partidas

Una función partida tiene distintas fórmulas según el valor de x.

Forma general:

f(x) = {
    fórmula 1 si x < a
    fórmula 2 si a ≤ x < b
    fórmula 3 si x ≥ b
}

No se usa una sola fórmula para todo. Primero mirás en qué intervalo cae x, y recién ahí elegís la fórmula.

Ejemplo:

Si x < 2, uso la primera fórmula.
Si 2 ≤ x < 4, uso la segunda.
Si x ≥ 4, uso la tercera.

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23. Unidades y conversión

Aunque parezca más de física, la conversión de unidades es matemática pura aplicada.

Hay que manejar:

• m, cm, km.
• g, kg.
• segundos, minutos, horas.
• m/s.
• m/s².
• N.
• km².
• cm².

Ejemplos:

1 km = 1000 m
1 m = 100 cm
1 kg = 1000 g
1 min = 60 s
1 h = 3600 s

Regla práctica:

Antes de meter números en fórmulas, pasar todo al mismo sistema de unidades.

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24. Temas matemáticos que sirven directo para física

Aunque este artículo sea de matemática, varios temas aparecen porque después se usan en física.

Tema matemático	Para qué sirve en física
Función lineal	MRU
Función cuadrática	MRUV
Pendiente	Velocidad o razón de cambio
Proporciones	Conversión de unidades
Trigonometría	Componentes de fuerzas y velocidades
Pitágoras	Módulo de vectores
Ecuaciones	Despejar incógnitas
Intervalos	Analizar gráficos
Notación científica	Medidas grandes o pequeñas

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25. Checklist de matemática para IRP

Antes de rendir, deberías poder:

• Clasificar números en naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.
• Reconocer símbolos como >, <, ≥, ≤, ≠, ∪, ∩.
• Usar intervalos abiertos, cerrados y semiabiertos.
• Resolver operaciones combinadas.
• Trabajar con potencias y raíces.
• Usar notación científica.
• Convertir unidades.
• Resolver proporciones.
• Calcular porcentajes.
• Resolver ecuaciones lineales.
• Resolver ecuaciones con productos.
• Plantear ecuaciones desde enunciados.
• Entender dominio e imagen de una función.
• Encontrar cortes con ejes.
• Identificar crecimiento y decrecimiento.
• Trabajar con función lineal.
• Calcular pendiente.
• Trabajar con función cuadrática.
• Usar Bhaskara.
• Aplicar Pitágoras.
• Usar seno, coseno y tangente.
• Leer puntos en el plano.
• Reconocer cuadrantes.
• Calcular módulo de un número o vector.
• Leer gráficos básicos.

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Conclusión

La base mínima es manejar números, operaciones, proporciones y ecuaciones. Después vienen funciones, gráficos, trigonometría y vectores. Con eso armado, los ejercicios de física y programación dejan de ser una mezcla rara de símbolos y pasan a ser problemas más ordenados.

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Referencias

1. IRP-CPU-ECyT. (s. f.). *Unidades: Material de la materia.

Unidad 1.pdf

Unidad 2.pdf

Unidad 3.pdf

Unidad 4.pdf

2. Zurita Tropea, M. (2024). Apuntes IRP. Material de estudio complementario. 2024 Apuntes - IRP.pdf